（問題）
(1) 集合 A に対して、恒等写像 idA は全単射である。
(2) 集合 A, B と 写像 f : A → B に対して、
f が全単射ならば、f-1 も全単射である。
（考察）
全射の定義と単射の定義にしたがって、一つ一つ確認をしましょう。
全射の定義 f : X → Y が全射であるとは
「 ∀y ∈ Y に対して、∃x ∈ X such that f(x) = y. 」
単射の定義 f : X → Y が単射であるとは
「 ∀x,x' ∈ X に対して、x ≠ x' ならば f(x) ≠ f(x'). 」
または対偶をとって
「 ∀x,x' ∈ X に対して、f(x) ＝ f(x') ならば x ＝ x'. 」
（解答例）
(1) 恒等写像 idA A → A : ( a → a ) が全単射を示しましょう。
（全射）
「 ∀a ∈ A に対して ∃a ∈ A such that idA(a) = a. 」
なので、idA は全射です。
（単射）
「 a ,a' ∈ A に対して a ≠ a' ならば
idA(a) = a ≠ a'= idA(a') 」
なので 単射です。
(2)
B の元 b に対して、f は全射なので ∃a ∈ A such that f(a) = b.
です。
また、f は単射なので、このような a はただ一つです。
したがって、 f-1 は B から A への写像になります。
f-1 が全射であること
を示しましょう。
∀a ∈ A に対して、f(a) = b とします。
そうすれば b ∈ B であり、かつ f-1(b) = a となります。
したがって
「 ∀a ∈ A に対して ∃b ∈ B such that f-1(b) = a. 」
となり、f-1 は全射です。
f-1 が単射であること
を示しましょう。
∀b,b' ∈ B に対して、f は全射なので、
∃a,a'∈ A such that f(a) = b, f(a') = b です。
この時、f-1(b) = a, f-1(b') = a' です。
いま f-1(b) = f-1(b') ならば
a = a'なので f(a)=f(a') となり、b=b' を得ます。