（問題）
|A| = |B| ならば 2|A| = 2|A|
（考察）
2|A| = |P(A)|
なので |P(A)| = |P(B)| を示します。
今、仮定より |A| = |B| なので ∃f : A → B （全単射） です。
この時、f の逆写像 f-1 : B → A も（全単射） です。
このことを用いながら、定義にしたがって、証明しましょう。
（解答）
|A| = |B| なので ∃f : A → B （全単射） です。
今、任意の T ⊆ A に対して T の f による像 f(T) を
f(T) = { f(t) | t ∈ T } と定義すれば f(T) ⊆ A なので、写像
F : P(A) → P(B) (T → f(T) )
が定義できます。写像 F が全単射を示します。
任意の S ∈ P(B) に対して、f の 逆写像 f-1 による
S の像 f-1(S) を
T とすれば T ∈ P(A) かつ F(T) = S をみたします。
（確認）
よって、 ∀S ∈ P(B) に対して、∃T ∈ P(A) such that F(T) = S となり、F は全射です。
T,T' ∈ P(A) に対して、 F(T) = F(T') とします。
この時、∀t ∈ T に対して、f(t) ∈ f(T) = F(T) = F(T') =f(T') なので t ∈ T' です。
よって、T ⊆ T' です。
対称的に、T' ⊆ T が示されるので。T = T' です。
よって、 ∀T, T' ∈ P(A) に対して、F(T) = F(T') ならば T = T' となり、F は単射です。
以上から、F : P(A) → P(B) (T → f(T) ) は全単射となり、 |P(A)| = |P(B)| です。
（確認）
任意の s ∈ S に対して、t = f-1(s) とおけば
t = f-1(s) ∈ f-1(S) = T なので、
s = f(t) ∈ f(T) です。
逆に、任意の a ∈ F(T) に対して、F(T) の定義より ∃t ∈ T such that f(t) = a となり,
T の定義より t ∈ T = f-1(S) なので、a = f(t) ∈ S となります。