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上三角化基底の存在

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線形変換の話に戻ります。

与えられた線形変換 f に対して、対角化基底が存在すれば、 その基底に関する表現行列は対角行列になりました。
しかし、対角化基底はいつでも存在するわけではありませんでした。
そこで、表現行列が対角行列に近くなるような 基底の存在を考えましょう。

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（上三角化基底の存在） f を n 次元ベクトル空間 V 上の線形変換とします。
この時、基底 B に関する表現行列 が 上三角行列となるような、 V の 基底 B が存在する。

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n = dim V に関する帰納法を用いて示します。
f の固有値 α に属する固有ベクトルのひとつを u とします。 u を含む V の基底を { u₁=u,u₂...,u_n } とします。 u₂...,u_n が生成する n-1 次元のベクトル空間を W としましょう。

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x ∈ W に対して、 f(w) =k₁u₁+ k₂u₂...+k_nu_n と一意的に表せます。
この時、k₂u₂+...+k_nu_n を 対応させる写像 f' は W 上の線形変換になります。 （確認）
帰納法の仮定より、W の基底 B'={ u'₂,...,u'_n }であり、 f' の B' に関する表現行列が上三角行列 A' となるようなものが存在します。
{ u, u₂, ... ,u_n } が 基底ならば、 B = { u, u'₂, ... ,u'_n }も基底になります。 （確認）

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f の B に関する表現行列が上三角行列になることを （確認）しましょう。

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さて、対角成分が全て α その上の成分が 1 である n 次正方行列を J(n,α) と表します。

J(2,α) =

α 1 0 α

,

J(3,β) =

β 1 0 0 β 1 0 0 β

,

J(4,λ) =

λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ

,　...

これらを Jordan block （ジョルダン細胞）といいます。
いくつかのJordan block を対角 Block に並べた行列をJordan 行列といいます。
次が示されます。

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（Jordan化基底の存在） f を n 次元ベクトル空間 V 上の線形変換とします。
この時、 基底 B に関する表現行列が Jordan 行列となるような、V の基底 B が存在する。

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証明は簡単ではありませんが事実として知っておきましょう。

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