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線形変換の固有値 と 行列の固有値 の 関係とは？

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まずは線形代数の復習をしましょう。

C は複素数体、V は C 上の（n 次元）ベクトル空間とします。 f : V → V を線形変換（一次変換）とします。
線形変換 とは f(u + v) = f(u) + f(v), f(ku) = kf(u) for ∀ u,v ∈ V, ∀ k ∈ C を満たす、V から V 自身への写像のことでした。

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「 0 ≠ ^∃u ∈ V such that f(u) = αu (α∈ C ) 」 のとき、 「 ある ０でないベクトル u が f で α 倍される 」とき
「 f は固有値 α を持つ 」といい、 「 u は固有値 α に属する固有ベクトル 」といいます。

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U = Cⁿ を C 上の n 次元（列）数ベクトル空間とします。 C 上の n 次正方行列 A に対して、
「 0 ≠ ^∃u ∈ U such that Au = αu (α∈ C ) 」 のとき、 「 ある ０でない列ベクトル u が A をかければ α 倍される 」とき
「 A は固有値 α を持つ 」といい、 「 u は固有値 α に属する固有ベクトル 」といいます。

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「固有値」「固有ベクトル」という同じ言葉を使うのは、 これらが同じ概念だからです。

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n 次元ベクトル空間 V の 基底 B = { b₁,...,b_n } を固定します。
この時、V は U = Cⁿ と同型であり、 線形変換 f : V → V と C 上の n 次正方行列 F の間には１対１の対応があります。

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V の任意のベクトル v は 基底 B の C 上の線形結合として、 v = k₁b₁ + ... + k_nb_n と表せます。
この時、係数 (k₁,...,k_n) を並べて得られる （列）数ベクトル u = u(v) を v の (基底 B に関する）成分ベクトルといいます。
写像 u : V → U 　 (v → u(v) ) は ベクトル空間の同型写像です。 （確認）

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基底を B の元を f で移したものを B の線形結合で表した時、
その係数を並べて得られる行列を F(f) を f の基底 B に関する 表現行列（行列表現、行列表示）といいました。

f(b_j)= c_1jb₁ + ... + c_njb_n とした時 F(f) = (c_ij)

逆に、n 次正方行列 A = (a_ij) に対して、 g_A(b_j) = a_1jb₁ + ... + a_njb_n とすれば、線形変換 g_A が定まります。
これによって、V 上の線形変換 と n 次正方行列の間に１対１対応がつきました。 （確認）

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このとき A の固有値、固有ベクトルという概念は、 この線形変換 g_A の固有値、固有ベクトルと１対１に対応し、
線形変換 f の固有値、固有ベクトルという概念は 表現行列 F=F(f) の固有値、固有ベクトルと１対１に対応します。

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まず、v の成分ベクトルを u とし、f(v) の成分ベクトル を u' としたとき、 u' = Fu になることを確認しましょう。

f(v)	=	f( u1b1 + ... + unbn )
	=	u1f(b1) + ... + unf(bn)
	=	u1 ( c11b1 + ... + cn1bn ) +...+ un ( c1nb1 + ... + cnnbn )
	=	( u1c11+ ... +unc1n )b1 + ... + ( uncn1+ ... +uncnn )b1	=	u'1b1 + ... + u'nbn

よって、成分ベクトルを対応させることによって、次が成り立ちます。

	「 f は固有値 α を持ち、v は固有値 α に属する固有ベクトル。」
⇔	「 f(v)=αv, 　 0 ≠ v ∈ V」
⇔	「 Au=αu, 　 0 ≠u ∈ U 」
⇔	「 A は固有値 α を持ち、u は固有値 α に属する固有ベクトル。」

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したがって、基底 B = { b₁,...,b_n } を固定することで、 下の表のような対応がつきます。

線形空間 V		数ベクトル空間 U
V のベクトル v	u は v の成分ベクトル v = u1b1 + ... + unbn	U のベクトル u
線形変換 f	F は f の表現行列 f = gF	行列 F
f による v の像 v' = f(v)		F による u の像 u' = Fu
線形変換 f の固有値		行列 F の固有値
f の固有値 α に属する 固有ベクトル v		F の固有値 α に属する 固有ベクトル u

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これは、基底 B の取り方にはよりません。 別の基底 B' に対しても、同じことが成り立ちます。
では、基底 B に関する表現行列 F と基底 B' に関する表現行列 F' の間には、 どのような関係があったでしょうか？

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それがわかれば、下の問題は解決しますね。

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n 次正則行列 P を用いて、PAP^-1 と変形するとは どういうことなのでしょうか？
変形した行列 PAP^-1 と もとの行列 A の 固有値が一致するのはなぜでしょうか？

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