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相似な行列 とは 同じ線形変換 の 表現行列 だ。

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C は複素数体、V は C 上の（n 次元）ベクトル空間とします。 f : V → V を線形変換（一次変換）とします。
V の基底 B に関する f の表現行列を F とし、 基底 B' に関する f の表現行列を F' とすれば、
「 F と F' は相似になります。」
逆に２つの行列 F と G が相似なら、 「 F と G は同じ線形変換の表現行列になっています。」

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今回は「このこと」を確認します。 このことが確認できれば、相似な行列の固有値が一致するのは当然ですね。

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n 次元ベクトル空間 V の 基底 B={b₁,...,b_n} と 別の基底、B'={z₁,...,z_n} を考えます。
この時、各 b_j は B' の線形結合で表せます。 　 b_j = s_1jz₁ + ... + s_njz_n
この係数を並べて得られる行列 S= (s_ij) を 基底変換 B → B' の行列といいます。 （本によって定義が違うことがあるので注意）
これは、[b₁,...,b_n] = [z₁,...,z_n]S を満たすただひとつの行列です。
また、v ∈ V の基底 B,B' に関する成分ベクトル を それぞれ、x,y とすれば、Sx = y が成り立ちます。 （確認）

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逆に 各 z_j は B の線形結合で z_j = t_1jb₁ + ... + t_njb_n と表せば、
基底変換 B' → B の行列 T= (t_ij) が得られます。
この時、 　 [b₁,...,b_n] = [z₁,...,z_n]S = [b₁,...,b_n] TS 　 となり、TS は単位行列です。（ B が基底だから）
したがって、S,T は互いに逆行列となる正則行列であることがわかります。

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			F
基底 B に関して		U	→	U
	T	↑	V → V	↓	S
基底 B' に関して		U	→	U
			F'

線形変換 f の 基底 B,B' に関する表現行列を F,F' とすれば,

F は [ f(b₁),...,f(b_n) ] = [ b₁,...,b_n ]F を満たすただひとつの行列、
F' は [ f(z₁),...,f(z_n) ] = [ z₁,...,z_n ]F' を満たすただひとつの行列です。

[z₁,...,z_n] = [b₁,...,b_n]T の両辺を f で移せば、

[ f(z₁),...,f(z_n) ] = [ f(b₁),...,f(b_n) ] T = [ b₁,...,b_n ]FT =[ z₁,...,z_n ]SFT

したがって、 F' = SFT が成り立ちます。 T = S^-1 ですから、F と F' は相似です。

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