（問題）
複素数を成分とするn 次正方行列全体の集合を M において、
「相似である」という関係 〜
「A 〜 B ⇔ ∃P 正則行列 such that B = P-1AP」は同値関係となる。
（解答例）
(1) ∀ A ∈ M に対して、
A = E-1AE なので A 〜 A.
（反射律）が成り立つ。
(2) A 〜 B ならば ∃P 正則行列 such that B = P-1AP
この時 Q = P-1 は正則行列であり、A = Q-1BQ となる。
よって、B 〜 A.
（対称律）が成り立つ。
(3) A 〜 B かつ B 〜 C とする。
∃P 正則行列 such that B = P-1AP かつ
∃S 正則行列 such that C = S-1BS
この時、R=PS は正則行列であり、
C = S-1(P-1AP)S=R-1AR
が成り立つ。よって、A 〜 C.
（推移律）が成り立つ。
したがって、「相似である」という関係は同値関係である。