対角化可能の話。
（問題）
対角化可能ではない行列の例をひとつあげよ。
代数学概論の追試験とレポート課題に上の問題をだしました。
ある学生が、間違った行列を持ってきたので、
「その行列は対角化可能ですよ。」
「対角化可能でない行列は頭の中にはありませんか？」ときいたところ、
ホワイトボードに右のような行列をかきました。
(よりによって）
「その行列は対角化可能ではありませんか？」
ときくと、
少し考えて、「計算しないとわかりません。」と答えたので、
「もし、計算しなければ、この行列が
対角化可能かどうかがわからないのなら、
来年もう一年やり直しなさい。」
ときびしくいいました。
ゼミ室で別の課題を考えていた何人かの学生に同じ質問をしました。
ある学生が
「計算して、わかればいいんじゃないですか？」と答えたので
「計算しないとわかりませんか？」とききました。
別の学生が
「定義がわかっていれば、簡単だと思います。」と答えたので。少しほっとしました。
わからなかった、学生を責めるものではありません。
わからなければ、復習をして、わかるようになればいいことです。
定義を復習すれば、
「計算しなくてもわかる、明らかな問題だった」と気付くことでしょう。
代数学概論に合格した学生は
上の行列が対角化可能であるかどうかを計算しなくても判断できますね。
「
対角化可能です。」
「対角化可能では
ありません。」
「対角化可能かどうか
わかりません。」
念のために「対角化可能」の定義を書いておきます。
n 次正方行列 A に対して、
対角成分以外が 0 である行列をを
対角行列 という。
P-1AP が対角行列になるような n 次正則行列 P が存在する時、
n 次正方行列 A が対角化可能であるという。