レポート問題
（問題）　 集合 A, B と 写像 f : A → B に対して、 f が全単射ならば、f-1 も全単射である。
（問題）　 集合 A,B,C と写像 f : A→B , g : B→C に対して、次を示せ。
(1) f と g がともに全射ならば、g º f も全射である。
(2) f と g がともに単射ならば、g º f も単射である。
(3) g º f が全射ならば、g は全射である。しかし、f が全射とは限らない。
(4) g º f が単射ならば、f は単射である。しかし、g が単射とは限らない。
（問題） 次の関係は同値関係であるか？または順序関係であるか？
  • (1) m は整数とする。整数全体の集合 Z において、 関係 ≡ を「a≡b ⇔ a-b ∈ mZ 」と定義する。
    （ただし、mZ ={ ma | a ∈ Z } は m の倍数 全体の集合である。 ）
  • (2) 自然数全体の集合 N において、 「割り切る」という関係 〜 を 「 a 〜 b ⇔ ∃c ∈ N s.t. ac = b 」と定義する。
  • (3) 集合族 X において、「対等である」という関係 〜 を 「 A 〜 B ⇔ ∃f : A → B （全単射）」と定義する。
  • (4) 複素数を成分とするn 次正方行列全体の集合を M において、 「相似である」という関係 〜 を
    「 A 〜 B ⇔ ∃P 正則行列 such that B = P-1AP」と定義する。
    （問題） g : N × N → N 　　 (a,b) → Sa+b-2+b は全単射であることを示せ。
    ただし、Sn = n(n+1)/2, (1 から n までの和）である。
    （問題）　 次の集合は可算集合であるかどうかを確かめよ。
    (1) 実数全体の集合 R
    (2) 素数全体の集合 P
    (3) 無理数全体の集合 I
    （問題）　 集合 A,B,C に対して、次を示せ。
    (1) |A| ≦ |A| が成り立つ。
    (2) |A| ≦ |B| かつ |B| ≦ |C| ならば |A| ≦ |C| が成り立つ。
    （問題）　 集合 A に対して、べき集合 P(A) の濃度と 2| A | に等しい。
    （問題） (1) 集合 A に対して |A| × |A| = |A|2 が成り立つ。
    (2) C と R × R の濃度は等しい。
    （問題）　 (1) 実数 α に対して、集合 Xα = { q ∈ Q | q ≦ α } と定義する。
    このとき、 写像 σ : R → , P(Q) 　 ( α → Xα ) は単射であることを示せ。
    (2) N のべき集合 P(N) 濃度 2|N| は R の濃度に等しいことを示せ。