レポート問題
（問題）
(1) 集合 A に対して、恒等写像 idA は全単射である。
(2) 集合 A, B と 写像 f : A → B に対して、
f が全単射ならば、f-1 も全単射である。
（問題）
(1) f : P(A) → {0,1}n が全単射を確かめよ。
(2) g : Map(A,B) → BA が全単射を確かめよ。
（問題）
次の関係は同値関係であるか、または順序関係であるかを調べよ。
(1)
自然数全体の集合 N に
「割り切る」という関係 | を
「 a | b ⇔ ∃c ∈ N s.t. ac = b 」と定義する。
(2)
整数全体の集合 Z 上の関係 ≡ を
「 a ≡ b ⇔ a2 = b2 」と定義する。
(3)
実数を成分とするn 次正方行列全体の集合 M に
「相似である」という関係 〜 を
「 A 〜 B ⇔ ∃P 正則行列 such that B = P-1AP」と定義する。
(4)
V は 実ベクトル空間、 W はその部分空間とする。
V 上の関係 〜 を「 u 〜 v ⇔ u - v ∈ W 」と定義する。
(5)
集合族 X において、「対等である」という関係 〜 を
「 A 〜 B ⇔ ∃f : A → B （全単射）」と定義する。
（問題）
集合 A,B,C と写像 f : A→B , g : B→C に対して、次を示せ。
(1) f と g がともに全射ならば、g º f も全射である。
(2) g º f が全射ならば g は全射である。
(3) g º f が全射の時、f は全射であるとはかぎらない。
(4) f と g がともに単射ならば、g º f も単射である。
(5) g º f が単射ならば g は全射である。
(6) g º f が単射の時、f は全射であるとはかぎらない。
（問題）
g : N × N → N
(a,b) → Sa+b-2+b は全単射であることを示せ。
ただし、Sn = n(n+1)/2, (1 から n までの和）である。
（問題）
集合 A,B,C に対して、次を示せ。
(1) |A| = |B| ならば |A| ≦ |B|
(2) |A| ≦ |A| が成り立つ。
(3) |A| ≦ |B| かつ |B| ≦ |C| ならば |A| ≦ |C| が成り立つ。
（問題）
(1) |P(A)| = 2|A|
(2) |Map(A,B)| = |B||A|
（問題）
|A| = |B| ならば 2|A| = 2|A|